A. | $\frac{5}{7}$ | B. | $\frac{6}{7}$ | C. | $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ | D. | $\frac{\sqrt{13}}{7}$ |
分析 由O是△ABC的重心得:$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$,则$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$代入式子化简,利用向量相等列出方程组,化简后由正弦定理得到边之间的关系,由余弦定理求出cosB,根据平方关系和B的范围求出sinB的值.
解答 解:∵O是△ABC的重心,∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$,则$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$,
∵30sinA•$\overrightarrow{OA}$+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,
∴30sinA•($-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$)+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,
(42sinB-30sinA)•$\overrightarrow{OB}$+(35sinC-30sinA)•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,
∵$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$不共线,∴$\left\{\begin{array}{l}{42sinB-30sinA=0}\\{35sinC-30sinA=0}\end{array}\right.$,
可得sinA=$\frac{7}{5}$sinB=$\frac{7}{6}$sinC,
由正弦定理得,b=$\frac{5}{7}$a、c=$\frac{6}{7}$a,
由余弦定理得,cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{(\frac{6}{7}a)}^{2}-{(\frac{5}{7}a)}^{2}}{2a×\frac{6}{7}a}$=$\frac{5}{7}$,
∵0<B<π,∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$,
故选:C.
点评 本题考查利用正弦、余弦定理化简求值,向量的线性运算,以及重心的充要条件的应用,对数学思维的要求比较高,综合性强,难度大,易出错.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 等腰直角三角形 | B. | 等腰钝角三角形 | ||
C. | 等边三角形 | D. | 不存在这样的三角形 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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