Question

5．设O是△ABC的重心，且30sinA•$\overrightarrow{OA}$+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则sinB=（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{6}{7}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{7}$

Answer 1

分析 由O是△ABC的重心得：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$代入式子化简，利用向量相等列出方程组，化简后由正弦定理得到边之间的关系，由余弦定理求出cosB，根据平方关系和B的范围求出sinB的值．

解答 解：∵O是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，
∵30sinA•$\overrightarrow{OA}$+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴30sinA•（$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
（42sinB-30sinA）•$\overrightarrow{OB}$+（35sinC-30sinA）•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$不共线，∴$\left\{\begin{array}{l}{42sinB-30sinA=0}\\{35sinC-30sinA=0}\end{array}\right.$，
可得sinA=$\frac{7}{5}$sinB=$\frac{7}{6}$sinC，
由正弦定理得，b=$\frac{5}{7}$a、c=$\frac{6}{7}$a，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{（\frac{6}{7}a）}^{2}-{（\frac{5}{7}a）}^{2}}{2a×\frac{6}{7}a}$=$\frac{5}{7}$，
∵0＜B＜π，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
故选：C．

点评 本题考查利用正弦、余弦定理化简求值，向量的线性运算，以及重心的充要条件的应用，对数学思维的要求比较高，综合性强，难度大，易出错．