Question

【题目】设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若已知f（1）= ，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．

∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1

（2）解：∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

当a＞1时，f（x）在R上递增．

理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=am﹣a﹣m﹣（an﹣a﹣n）

=（am﹣an）+（a﹣n﹣a﹣m）=（am﹣an）（1+ ），

由于m＜n，则0＜am＜an，即am﹣an＜0，

f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），

则当a＞1时，f（x）在R上递增

（3）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，

即3a2﹣8a﹣3=0，

解得a=3或a=﹣ （舍去）．

∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，

令t=3x﹣3﹣x，

∵x≥1，

∴t≥f（1）= ，

∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，

当m 时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．

当m 时，（ ）2﹣2m× +2=﹣2，

解得m= ，满足条件，

∴m= ．

【解析】（1）由于函数的定义域为R，且f（x）为奇函数，一定有f（0）=0，解得k=1，（2）根据函数单调性的定义，进行设值作差，分析可得出f（x）在R上单调递增，（3）由于f（1）=,解得a=3，代入g（x）中，得到解析式，使用换元法，结合二次函数的最值问题，可解得m的值.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．