Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1）．若a₃+a₅=5，a₂a₆=4，b_n=log₂a_n数列{b_n}的前n项和为S_n，则当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值，则n的值为（　　）

Answer 1

分析：由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入b_n=log₂ a_n，得到数列{b_n}为等差数列，写出c_n=

Sn

n

=

9-n

2

知，当为非负值时，

S1

1

+

S2

2

+…

Sn

n

取最大值．

解答：解：∵{a_n}是等比数列且a₃+a₅=5，a₂a₆=4，公比q∈（0，1）．a₃=4，a₅=1
∴

a3+a5=5 a3a5=4

解得：a₃=4，a₅=1
∴q=

1

2

，∴a₁=16
则an=16•(

1

2

)n-1
∴bn=log2an=log2(16•

1

2n-1

)=log225-n=5-n
则b₁=4，
由b_n+1-b_n=5-（n+1）-（5-n）=-1．
∴数列{b_n}是以4为首项，以-1为公差的等差数列．
则数列{b_n}的前n项和
Sn=

n(4+5-n)

2

=

n(9-n)

2

令cn=

Sn

n

=

n(9-n)

2n

=

9-n

2

∵c_n≥0时，n≤9
∴当n=8或9时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值．
故选C．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等差关系的确定以及数列求最值等知识，是中档题