Question

【题目】关于下列命题，正确的个数是（ ）
①若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4
②已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切
③已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2
④设直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12 ．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：对于②：∵点（2，1）在圆外，∴k2+2k﹣8＞0，解得k＜﹣4，或k＞2，故①正确；
对于②：圆心M到直线的距离d= =|sin（θ+φ）|，其中sinφ= ，cosφ= ，
∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直线与圆相交或相切．故②错误；
对于③：圆C：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圆心C（0，1），半径r=1，
圆心C到直线2x+y+4=0的距离d= ，即PCmin= ，
∵ ，∴PAmin=2，
∵ ，∴（S四边形PACB）min=2，故③正确；
对于④：直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x﹣2）cosθ+ysinθ=2
∵点（2，0）到直线的距离d= ，
∴直线系M都是圆C：（x﹣2）2+y2=4的切线．
设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形，则AC=2r=4，AB=2AD=2
∴S= ，故④正确．

综上可知，正确的是①，③，④，共有3个．
故选：C
【考点精析】认真审题，首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系)．