Question

（本小题满分14分）

 如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。

（1）求直线PC与平面PAD所成角的余弦值；（6分）

（2）求证：PC//平面EBD；（4分）

（3）求二面角A—BE—D的余弦值.（4分）

 

Answer 1

【答案】

（1）直线PC与平面PAD所成角的余弦值. （2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）一点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，根据条件求出CD,PD，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角；

（2）欲证PC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面EBD内一直线平行连接AC交BD于G，连接EG，根据比例关系可知PC∥EG，而EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，满足定理所需条件；

（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解：（1）建立如图所示的直角坐标系……1分

∴………………2分

设平面PAD法向量为，

则，所以 …3分

设直线PC与面PAD所成角为，…4分

…………………5分

所以，直线PC与平面PAD所成角的余弦值.……………………6分

（2）连结AC交BD于G，连结EG，

 ，∴ ……………8分

 …………………………9分

∴…………………………10分

（3）设平面，由

考点：本试题主要考查了直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．

点评：解决该试题的关键是熟练的运用线面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的运用。