Question

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

2

2

，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为

2

2

．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
∴（a+b）x²-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax²+by²=1，
∴

x1+x2

2

=

b

a+b

，

y1+y2

2

=1-

x1+x2

2

=

a

a+b

．
∴M（

b

a+b

，

a

a+b

）．
∵k_OM=

2

2

，∴b=

2

a．①
∵OA⊥OB，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=

b-1

a+b

，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2b

a+b

+

b-1

a+b

=

a-1

a+b

．
∴

b-1

a+b

+

a-1

a+b

=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（

2

-1），b=2

2

（

2

-1）．
∴所求方程为2（

2

-1）x²+2

2

（

2

-1）y²=1．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与圆锥曲线的位置关系的问题．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，充分利用判别式和韦达定理求得问题的解决．