Question

点M到点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若直线y=x-5与（1）中的轨迹交于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得，点M到直线x=-4的距离和它到点（4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．
（2设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，利用弦长公式或两点间的距离公式，求出线段AB的长．

解答： 解：（1）由题意可知：点M到点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4=0的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线．
由

p

2

=4得p=8，所以其方程为y²=16x．
（2）法一 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=|x₁-x₂|

1+k2

=

2

|x₁-x₂|
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，∴x₁+x₂=26，x₁x₂=25，
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

262-4×25

=24，
于是|AB|=

2

|x₁-x₂|=24

2

．
法二 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，解得x₁=1，x₂=25．所以A（1，-4），B（25，20），
从而|AB|=

(1-25)2+(-4-20)2

=24

2

．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．