Question

4．在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（　　）

• A． $\frac{125π}{6}$
• B． $\frac{{125\sqrt{2}π}}{3}$
• C． $\frac{50π}{3}$
• D． $\frac{25π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．

解答 解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．
∴2r=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由球的体积公式得：S=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π．
故选B．

点评 本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键．