Question

已知函数F(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0．
（1）若F（x）在x=1处取得极小值-2，求函数F（x）的单调区间；
（2）令f（x）=F'（x），若f′（x）＞0的解集为A，且满足A∪（0，1）=（0，+∞），求

c

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数F(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0，且F（x）在x=1处取得极小值-2，我们易构造出一个关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c的值，即可得到导函数的解析式，分析导函数的符号，即可求出函数F（x）的单调区间；
（2）由f（x）=F'（x），我们易求出f'（x）的解析式，若f'（x）＞0的解集为A，且满足A∪（0，1）=（0，+∞），则0≤

-a-c

2a

＜1，解不等式即可得到

c

a

的取值范围．

解答：解：（1）因F'（x）=ax²+2bx+c由题意得：

F′(-1)=0 F′(1)=0 F(1)=-2

即

a-2b+c=0 a+2b+c=0 1 3 a+b+c=-2

解得

a=3 b=0 c=-3

所以F'（x）=3x²-3，
由F'（x）＞0得x＜-1或x＞1，故增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
由F'（x）＜0，得-1＜x＜1，故减区间为（-1，1）（-1、1）
（2）由f（x）=F'（x），
得f'（x）=2ax+a+c，
由f'（x）＞0，
得2ax+a+c＞0
又A∪（0，1）=（0，+∞），
故a＞0且0≤

-a-c

2a

＜1，
得-3＜

c

a

≤-1．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．