Question

14．试证对于任何整数a，数8a+7不是三个整数的平方和．

Answer 1

分析 利用反证法证明，分类讨论，即可得出结论．

解答 证明：假设存在任意正整数n，使8a+7是三个正整数的平方和即设三个整数分别为x，y，z，
则有：x²+y²+z²=8a+7
即x²+y²+z²=2﹙4a+3）+1，
则x，y，z有一个奇数，或三个全是奇数，
①若x，y，z中，有一个奇数两个偶数，令x=2n+1，y=2b，z=2c
则4n²+4n+1+4b²+4c²=2﹙4a+3﹚+1，
即4﹙n²+n+b²+c²﹚=2﹙4a+3﹚，
即2﹙n²+n+b²+c²﹚=4a+3
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾；
②若x，y，z都是奇数，
令x=2n+1，y=2b+1，z=2c+1，
则4﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚+1=2﹙4a+3﹚+1
4﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚=2﹙4a+3﹚，
所以2﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚=4a+3，
所以2﹙n²+b²+c²+n+b+c﹚=4a+2，
所以n²+b²+c²+n+b+c=2a+1，
n，b，c都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，2a+1是奇数，
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾
综上所述：8a+7不可能是三个整数的平方和

点评 本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．