Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，点P（a_n，S_n）在直线y=2x-2上（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2(1-

1

an

)，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（3）设数列{c_n}满足cn=

an

n2

，试比较：cn与

n

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（1）依题意得S_n=2a_n-2，则n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=2a_n-1，由此能求出a_n=2ⁿ；
（2）先求和，再利用T_n＞2011，即可求使T_n＞2011的n的最小值；
（3）设c_n=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

，证明当n≥4时c_n＞g（n），即可得出结论．

解答：解：（1）依题意得S_n=2a_n-2，则n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2
∴n≥2时，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，（2分）
又n=1时，a₁=2
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）依题意，bn=2(1-

1

an

)=2-(

1

2

)n-1
∴Tn=2n-2+2•(

1

2

 )n
由T_n＞2011，得n+(

1

2

 )n＞

2013

2

n≤1006时，n+(

1

2

 )n＜

2013

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

 )n＞

2013

2

因此n的最小值为1007；
（3）设c_n=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

．
∵c_n+1-c_n=

2n[n(n-2)-1]

[n(n+1)]2

，当n≥3时，c_n+1-c_n＞0，
∴当n≥3时，{c_n}递增数列，
∴当n≥4时，c_n≥c₄=1，而g（n）＜1，∴当n≥4时c_n＞g（n），
经检验n=1，2，3时，仍有c_n＞g（n），
因此，对任意正整数n，都有c_n＞g（n），
即cn＞

n

n+1

．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查数列的通项，考查数列的单调性，属于中档题．