Question

定义：离心率e=

5 -1

2

的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF2

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF₁F₂的内心，连接PM并延长交F₁F₂于N，求

|PM|

|PN|

的值．

Answer 1

分析：（1）利用反证法，可得a，b，c成等比数列，与已知矛盾；
（2）假设直线l的方程，求出P的坐标，代入椭圆方程，可得k2=

1-4e2

e

＜0，与k²≥0矛盾；
（3）设△PF₁F₂的内切圆半径，利用等面积，可得

a+c

c

=

S△PF1F2

S△MF1F2

=

|PN|

|MN|

，由此可求

|PM|

|PN|

的值．

解答：（1）证明：假设E为黄金椭圆，则e=

c

a

=

5 -1

2

，∴c=

5 -1

2

a．…（1分）
∴b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）解：依题意，假设直线l的方程为y=k（x-c）．
令x=0有y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc）．
∵

RP

=-2

PF2

，∴点F₂（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）．…（6分）
∵点P在椭圆上，∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1．
∴k2=

1-4e2

e

＜0，与k²≥0矛盾．
∴满足题意的直线不存在．…（8分）
（3）解：连接MF₁，MF₂，设△PF₁F₂的内切圆半径为r．
则

1

2

|PF1|r+

1

2

|PF2|r+

1

2

|F1F2|r=S△PF1F2
即

1

2

(2a+2c)r=S△PF1F2

1

2

|F1F2|r=S△MF1F2=

1

2

•2c•r
∴

a+c

c

=

S△PF1F2

S△MF1F2

=

|PN|

|MN|

…（10分）
∴|MN|=

c

a+c

|PN|
∴|PM|=(1-

c

a+c

)|PN|
∴

|PM|

|PN|

=

a

a+c

=

1

1+ c a

=

1

1+ 5 -1 2

=

1

5 +1 2

=

5 -1

2

…（12分）

点评：本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是关键．