Question

A：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D．
求证：AC平分∠BAD．
B：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）

x=5cos? y=4sin?

（?为参数）；     （2）

x=1-3t y=4t

（t为参数）

Answer 1

分析：A：根据直径所对手圆周角是直角，得到∠B+∠BAC=90°，根据AD、CE互相垂直，得到∠ACD+∠DAC=90°，再结合弦切角得到∠ACD=∠B，因此得到∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD；
B：（1）根据参数方程，变形得到

cos?= x 5 sin?= y 4

，利用同角三角函数的关系，得到普通方程为

x

25

2+

y

16

2 =1，因此可得，它表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；
（2）根据参数方程，两式消去参数t得到x=1-

3y

4

，化简即可得到直线方程的一般形式，因此可得，它表示的曲线为一条直线．

解答：解：（A）连接BC
∵AB是⊙O的直径，点C在圆上，
∴∠ACB=90°，可得∠B+∠BAC=90°…（3分）
∵AD⊥CE，∴∠ADC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°…（6分）
∵AC是弦，直线CE和⊙O相切与点C
∴∠ACD=∠B，
∴∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD…（10分）
（B）（1）∵

x=5cos? y=4sin?

（?为参数）
∴

cos?= x 5 sin?= y 4

，可得

x

25

2+

y

16

2=cos2?+sin2?=1
∴化为普通方程是：

x

25

2+

y

16

2 =1，因此表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆…（5分）
（2）∵

x=1-3t       ① y=4t          ②

（t为参数）
∴根据②得t=

y

4

，将它代入①，得x=1-

3y

4

整理得普通方程是：4x+3y-4=0，
因此表示的曲线为经过x轴上点（1，0），斜率为-

4

3

的直线…（10分）

点评：本题第一小问以直径所对的圆周角和弦切角为载体，考查了圆中证明角相等及等角的余角等知识点，属于基础题．第二小问以参数方程化为普通方程为例，考查了直线的参数方程形式、同角三角函数的关系等知识点，属于基础题．