Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当，函数，证明：存在唯一的极大值点，且.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求导，讨论a≤0和a>0 时f′（x）的正负确定单调性

（2）求导g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，构造新函数t（x）＝2x﹣2﹣lnx，求导利用零点存在定理得g（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，结合g（x0）x0﹣x0lnx0整理为二次函数证明即可

（1）解：因为f（x）＝ax﹣a﹣lnx（x＞0），

求导：f′（x）＝a.

则当a≤0时f′（x）＜0，即y＝f（x）在（0，+∞）上单调递减，

当a>0时，f′（x）＜0 , 0＜x，f′（x）＞0则 x

所以，y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增.

综上，当a≤0时，y＝f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a>0时，y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：由（1）可知g（x）＝x2﹣x﹣xlnx，g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，

令g′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，

令t′（x）＝0，解得：x，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，t（）＝， t（1）＝0从而t（x）＝0有两解，即g′（x）＝0存在两根x0，1，

则g′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，1）上为负、在（1，+∞）上为正，

所以g（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，

所以g（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，

由x0可知g（x0）＜（x0）max；