Question

15．已知三棱锥D-ABC的四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若该三棱锥体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，则R=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，利用余弦定理可得：$B=\frac{2π}{3}$，S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．当DB⊥平面ABC时，该三棱锥取得体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．△ABC的外接圆的圆心为B，半径为r，利用正弦定理可得：2r=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$，由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得DB．设三棱锥D-ABC的外接球的球心为O，在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+$（\sqrt{3}）^{2}$，解出即可．

解答 解：如图所示，
由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
可得cosB=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
当DB⊥平面ABC时，该三棱锥取得体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
△ABC的外接圆的圆心为B，半径为r，可得：2r=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，r=$\sqrt{3}$．
由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得DB=3．
设三棱锥D-ABC的外接球的球心为O，
在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得R=2．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、球的性质、三棱锥的体积、余弦定理、勾股定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．