Question

18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FO⊥平面ABCD；  
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出FO⊥AC，FO⊥BD，由此能证明FO⊥平面ABCD．
（2）连接FO、FD，推导出△DBF为等边三角形，从而FO⊥BD，再求出AC⊥FO，得到FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵FA=AC，∴FO⊥AC，
∵FD=FB，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD．（5分）
解：（2）连接FO、FD，
∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∴O为BD中点．∴FO⊥BD，
又∵O为AC中点，且FA=FC，
∴AC⊥FO，又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD，…（6分）
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
设AB=2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，OB=1，OA=OF=$\sqrt{3}$，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），…（8分）
∴$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设平面BFC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），…（10分）
∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0）．
∵二面角A-FC-B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OB}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角A-FC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．