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【题目】小明准备利用暑假时间去旅游,妈妈为小明提供四个景点,九寨沟、泰山、长白山、武夷山.小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点:(如图)曲线 和直线 交于点 .以 为起点,再从曲线 上任取两个点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 .若 去九寨沟;若 去泰山;若 去长白山; 去武夷山.

(1)若从 这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量,分别求小明去九寨沟的概率和不去泰山的概率;
(2)按上述方案,小明在曲线 上取点 作为向量的终点,则小明决定去武夷山.点 在曲线 上运动,若点 的坐标为 ,求 的最大值.

【答案】
(1)解:由题意可知得到向量组合方式共有:

共15种

设事件“去九寨沟”=B,“不去泰山”=C

则去九寨沟即ξ>0:

共4种

去泰山即=0,

共4种


(2)解:由题意:小明去武夷山即

故可设

上式几何意义:圆 上的点与点(6,3)的距离

上式的最大值即点 距离的最大值,即圆心 的距离再加半径

所以


【解析】(1)由题意列出所有可能的事件结合古典概率型公式可求得概率。(2)根据题意结合向量的数量积的运算公式可得出A7,A8关于原点对称,借助向量的坐标关系可求得三个向量和的模长为圆 x2 + y2 = 1 上的点与点(6,3)的距离,由几何意义可得到上式的最大值即点 ( x , y ) 与 ( 6 , 3 ) 距离的最大值,即圆心 ( 0 , 3 ) 与 ( 6 , 3 ) 的距离再加半径,代入数值计算出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解点和圆的三种位置关系的相关知识,掌握圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r.

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