Question

14．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则△BCD的面积为$\frac{\sqrt{11}}{2}$；三棱锥A-BCD的内切球半径为$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$．

Answer 1

分析 设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=$\sqrt{6}$，ac=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{2}$，求出a，b，c，即可求△BCD的面积，利用等体积求出三棱锥A-BCD的内切球半径．

解答 解：设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=$\sqrt{6}$，ac=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{2}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
△ABC中，BC上的高为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴△DBC中，BC上的高为$\sqrt{3+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$，
∴△BCD的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
设三棱锥A-BCD的内切球半径为r，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）r
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$
故答案为：$\frac{\sqrt{11}}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$．

点评 本题是中档题，考查三棱锥A-BCD的内切球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．