Question

袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．  
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：利用古典概型概率公式，可求概率；解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B，则事件A与事件B是对立事件，从而可求概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的概率分布与数学期望．

解答：（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A，
∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有

C

2 6

种，…（1分）
其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有

C

2 3

C

1 2

C

1 2

，…（3分）
∴P(A)=

C 2 3 C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

3×2×2

3×5

=

4

5

．                            …（4分）
解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B，则事件A与事件B是对立事件．
∵P(B)=

C 1 3

C 2 6

=

3

15

=

1

5

，…（2分）
∴P(A)=1-P(B)=

4

5

．                                        …（4分）
（Ⅱ）解：由题意，ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，6．           …（6分）
则P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

4

15

，P(ξ=4)=

C 2 2 + C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

5

15

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 1 2

C 2 6

=

4

15

，P(ξ=6)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
故随机变量ξ的概率分布列为              

ξ	2	3	4	5	6
P	1 15	4 15	5 15	4 15	1 15

…（10分）
因此，ξ的数学期望Eξ=2×

1

15

+3×

4

15

+4×

5

15

+5×

4

15

+6×

1

15

=4．…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．