Question

15．已知f（x）=2lnx-$\frac{1}{3}{x^2}$+kx．
（1）当k=$\frac{2}{3}$时，求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）讨论g（x）=f（x）+$\frac{4}{3}{x^2}$的单调性；
（3）若函数h（x）=xf（x）在定义域内单调递减，k∈Z，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出斜率与切点坐标，然后求解切线方程．
（2）求出函数的定义域，求出导数，通过当k≥0时，①当-4≤k＜0时，②当k＜-4时，判断导函数的符号，求出函数的单调区间．
（3）推出$h（x）=2xlnx-\frac{1}{3}{x^3}+k{x^2}$，求解定义域与导数，利用h（x）在定义域内单调减，得到$2k≤\frac{{{x^2}-2lnx-2}}{x}$在（0，+∞）恒成立，构造$s（x）=\frac{{{x^2}-2lnx-2}}{x}=x-\frac{2lnx}{x}-\frac{2}{x}$，求出导函数，记t（x）=x²+2lnx，判断导函数的符号，利用所以存在唯一的${x_0}∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，求出s（x）取得极小值，且是最小值．然后求解k的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=2lnx-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{2}{3}x$，则$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$，…（1分）
则f′（1）=2，又$f（1）=\frac{1}{3}$，
所以函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程为$y-\frac{1}{3}=2（x-1）$，
即$y=2x-\frac{5}{3}$．                                  …（3分）
（2）g（x）=2lnx+x²+kx，定义域为（0，+∞），…（4分）
则$g'（x）=\frac{2}{x}+2x+k=\frac{{2{x^2}+kx+2}}{x}$，
当k≥0时，显然g′（x）＞0恒成立，此时g（x）在（0，+∞）单调增；    …（6分）
当k＜0时，2x²+kx+2=0（*），△=k²-16，
①当-4≤k＜0时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在（0，+∞）单调增；   …（7分）
②当k＜-4时，方程（*）有两个不等的实数根${x_1}=\frac{{-k+\sqrt{{k^2}-16}}}{4}＞{x_2}=\frac{{-k-\sqrt{{k^2}-16}}}{4}＞0$
所以g（x）在（0，x₂）上单调增，在（x₂，x₁）上单调减，在（x₁，+∞）上单调增，
综上，当k≥-4时，g（x）在（0，+∞）单调增；
当k＜-4时，g（x）在（0，x₂）上单调增，在（x₂，x₁）上单调减，在（x₁，+∞）上单调增．
…（9分）
（3）$h（x）=2xlnx-\frac{1}{3}{x^3}+k{x^2}$，定义域为（0，+∞），则h′（x）=2（lnx+1）-x²+2kx．
因为h（x）在定义域内单调减，所以h′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即$2k≤\frac{{{x^2}-2lnx-2}}{x}$在（0，+∞）恒成立，即$2k≤{（\frac{{{x^2}-2lnx-2}}{x}）_{min}}$…（11分）
令$s（x）=\frac{{{x^2}-2lnx-2}}{x}=x-\frac{2lnx}{x}-\frac{2}{x}$，则$s'（x）=1-\frac{2-2lnx}{x^2}+\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+2lnx}}{x^2}$，
记t（x）=x²+2lnx，则$t'（x）=2x+\frac{2}{x}＞0（x＞0）$，所以t（x）在（0，+∞）单调增，且$t（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{1}{2}+2ln\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{2}-ln2＜0$，k（1）=1＞0，
所以存在唯一的${x_0}∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，$s'（{x_0}）=\frac{{x_0^2+2ln{x_0}}}{x_0^2}=0$，有$2ln{x_0}=-x_0^2$，…（13分）
此时，当x∈（0，x₀）时，s′（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，s′（x）＞0，
所以，当x=x₀时，s（x）取得极小值，且是最小值．
所以$2k≤s{（x）_{min}}=\frac{{x_0^2-2ln{x_0}-2}}{x_0}=\frac{2x_0^2-2}{x_0}$，即$k≤{x_0}-\frac{1}{x_0}$，…（15分）
又${x_0}∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，所以${x_0}-\frac{1}{x_0}∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，
因为k∈Z，则k的最大值为-1．                                …（16分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查构造法的应用地产股涨幅以及导数的应用，难度大，需要解题仔细认真，考查分类讨论，转化思想的应用．