Question

x，y，z为非负数，且x+y+z=1，求证：yz+zx+xy≤9xyz．

Answer 1

分析：先对x，y，z中有0时进行验证满足条件；当x，y，z都非零时，一定有xyz＞0成立，故可得到

yz+zx+xy

9xyz

=

1

9x

+

1

9y

+

1

9z

=（

1

9

+

1

9

+

1

9

）+（

y

9x

+

x

9y

）+（

z

9x

+

x

9z

）+（

z

9y

+

y

9z

），再根据均值不等式可得证．

解答：证明：当x，y，z中有1个或2个是0时，不等式成立；
当x，y，z都是正数时，xyz＞0，
所以

yz+zx+xy

9xyz

=

1

9x

+

1

9y

+

1

9z

=

x+y+z

9x

+

x+y+z

9y

+

x+y+z

9z

=（

1

9

+

1

9

+

1

9

）+（

y

9x

+

x

9y

）+（

z

9x

+

x

9z

）+（

z

9y

+

y

9z

）
≥

1

3

+2×

1

9

+2×

1

9

+2×

1

9

=1（当x=y=z=

1

3

时等号成立）
∴yz+zx+xy≤9xyz
得证．

点评：本题主要考查均值不等式的应用．均值不等式在不等式的证明以及求解范围时应用比较广泛，占据非常重要的地位，要熟练掌握．