Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=n（n+1）（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：an= + + +…+ ，求数列{bn}的通项公式；
（3）令cn= （n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．

n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．

∴an=2n．

（2）解：数列{bn}满足：an= + + +…+ ，∴n≥2时，an﹣an﹣1= =2．

∴bn=2（3n+1）．

n=1时， =a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．

∴bn=2（3n+1）．

（3）解：cn= = =n3n+n，

令数列{n3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n3n，

∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

可得An= ．

∴数列{cn}的前n项和Tn= + ．

【解析】（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出．（2）数列{bn}满足：an= + + +…+ ，可得n≥2时，an﹣an﹣1= =2．n=1时， =a1=2，可得b1．（3）cn= = =n3n+n，令数列{n3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．