Question

求实数m的范围，使关于x的方程x²+2（m-1）x+2m+6=0
（1）有两个实根；
（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；
（3）有两个实根，且都比1大．

Answer 1

分析：（1）方程有两个实根时，则需△=[2（m-1）]²-4×（2m+6）≥0来解决．
（2）用根的分布来解，令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，一个比0大，一个比0小，只要f（0）＜0即可．
（3）用函数法解决，令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，有两个实根则需△=[2（m-1）]²-4×（2m+6）≥0，都比1大则需f（1）=1+2（m-1）+2m+6＞0求解，两者同时成立．

解答：解：（1）方程有两个实根时，得△=[2（m-1）]²-4×（2m+6）≥0
解得m≤-1或m≥5
（2）令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6由题意得f（0）＜0，解得m＜-3
（3）令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6由题意得
f（1）=1+2（m-1）+2m+6＞0
-

2(m-1)

2

=1-m＞1
△=[2（m-1）]²-4×（2m+6）≥0
解得-

5

4

＜m≤-1．

点评：本题主要考查了方程的根与函数与x轴交点间的关系，还考查了函数思想，转化思想，属中档题．