分析 由题意可得 ${\overrightarrow{BC}}^{2}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}$=4,由此求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$,由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2,以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1,即可求得$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角的余弦值.
解答 解:由题意可得${\overrightarrow{BC}}^{2}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}$=4,
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$,
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2,以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1,
可得 $\overrightarrow{AB}•(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})$+$\overrightarrow{AC}•(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=1+$\overrightarrow{AB}•(-\overrightarrow{BF})$$+\frac{1}{2}$$+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=2,
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1即 1×2×cos<$\overrightarrow{EF}$,$\overrightarrow{BC}$>=1,
∴cos<$\overrightarrow{EF}$,$\overrightarrow{BC}$>=$\frac{1}{2}$;
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义、同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\overrightarrow{e_1}=(0,0),\overrightarrow{e_2}=(2,3)$ | B. | $\overrightarrow{e_1}=(-1,3),\overrightarrow{e_2}=(5,-2)$ | ||
C. | $\overrightarrow{e_1}=(3,4),\overrightarrow{e_2}=(6,8)$ | D. | $\overrightarrow{e_1}=(2,-3),\overrightarrow{e_2}=(-2,3)$ |
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A. | 18 | B. | 12 | C. | 24 | D. | 6 |
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A. | (-∞,-$\frac{3}{5}$) | B. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{5}$) | C. | ($\frac{1}{4}$,+∞) | D. | ($\frac{3}{5}$,+∞) |
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