【题目】如图,已知椭圆的右焦点为,点分别是椭圆的上、下顶点,点是直线上的一个动点(与轴的交点除外),直线交椭圆于另一个点.
(1)当直线经过椭圆的右焦点时,求的面积;
(2)①记直线的斜率分别为,求证:为定值;
②求的取值范围.
【答案】(1)(2)①见解析②
【解析】
试题(1)先联立直线的方程为与椭圆方程的方程组,求出交点坐标,进而求出点到直线的距离公式求出上的高,运用三角形的面积公式求解;(2)先求出斜率的值,再计算其积进行推算;先运用直线与椭圆的位置关系计算出向量的的坐标形式,再运用向量的数量积公式进行推证:
解:(1)由题意,焦点,
当直线过椭圆的右焦点时,则直线的方程为,即,
联立,解得或(舍),即.
连,则直线,即 ,
而,.
故.
(2)解:法一:①设,且,则直线的斜率为,
则直线的方程为,
联立化简得,
解得,
所以,,
所以为定值.
②由①知,,,
所以,
令
故,
因为在上单调递增,
所以,即的取值范围为.
解法二:①设点,则直线的方程为,
令,得.
所以,
所以(定值).
②由①知,,,
所以,
.
令,则,
因为在上单调递减,
所以,即的取值范围为.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,,平面,,,,且是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得与所成的角为? 若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,已知椭圆:(),,,,是椭圆上的四个动点,且,,线段与交于椭圆内一点.当点的坐标为,且,分别为椭圆的上顶点和右顶点重合时,四边形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)证明:当点,,,在椭圆上运动时,()是定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数,),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若点,设曲线与直线交于点,求的最小值.
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【题目】交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T.其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵,晚高峰时段(T≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示.
(1)请补全直方图,并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个?
(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6),[6,8),[8,l0]的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个,求至少一个路段为轻度拥堵的概率.
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【题目】已知曲线C1的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
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【题目】下列命题中是真命题的个数是( )
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行
(2)与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行
(4)两条直线能确定一个平面
(5)垂直于同一个平面的两个平面平行
A. B. C. D.
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