Question

已知f(x)=2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤

π

2

)，g（x）=e^x-x²+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点(0，

3

)，且在该点处切线的斜率为-2．
（I）若点A(

π

2

，0)，点P是函数y=f（x）图象上一点，Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]时，求x₀的值；
（II）当a＞1+ln2时，试问：是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）根据在该点(0，

3

)处切线的斜率为-2建立等式关系可求出ω、θ从而求出f（x），利用中点坐标公式建立等式关系，即可求出x₀的值；
（II）先求出曲线f（x）的切线斜率的取值范围，然后求出曲线y=g（x）的切线斜率的取值范围，看其是否有交集，从而判定是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线．

解答：解：（I）由题意可知

f′(0)=-2ωsinθ=-2 2cosθ= 3 0≤θ≤ π 2

可得：θ=

π

6

，ω=2
即f(x)=2cos(2x+

π

6

)
设P点坐标为(t，2cos(2t+

π

6

))，已知A(

π

2

，0)
所以Q（x₀，y₀）满足

x0= t+ π 2 2 y0=cos(2t+ π 6 )

又由y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]得到t=π或t=

5π

6

所以x0=

3π

4

或x0=

2π

3

（II）因为f′(x)=-4sin(2x+

π

6

)所以曲线f（x）的切线斜率k₁∈[-4，4]
又g′（x）=e^x-2x+2a
∴g″（x）=e^x-2
∴令g″（x）=0可得x=ln2处g′（x）取到最小值g′（ln2）=e^ln2-2ln2+2a＞2-2ln2+2+2ln2=4
所以曲线y=g（x）的切线斜率k₂＞4，故不存在两曲线的共切线．

点评：本题主要考查了利用导数研究在某点处的切线，以及导数的几何意义和公切线问题，属于中档题．