Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂与抛物线y²=4

3

x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且

|CD|

|ST|

=4

3

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点F₂（

3

，0），故可设椭圆的方程为

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，求出C，D的坐标，由抛物线与椭圆的对称性，可得S（

3

，

1

2

），代入椭圆方程，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

OA

+

OB

=t

OP

，求出P的坐标，代入椭圆方程，求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₂（

3

，0），故可设椭圆的方程为

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，
解方程组

y2=4 3 x x= 3

解得C（

3

，2

3

），D（

3

，-2

3

），
由抛物线与椭圆的对称性，可得：

|F2C|

|F2S|

=

|CD|

|ST|

=4

3

，所以|F₂S|=

1

2

，所以S（

3

，

1

2

）．
因此

3

b2+3

+

1 4

b2

=1，解得b=1，故而a=2，
所以椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．
①当k=0时，所以t=0；
②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x-3），
代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△＞0，得0＜k²＜

1

5

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则x₁+x₂=

24k2

1+4k2

，x₁x₂=

36k2-4

1+4k2

．
因为

OA

+

OB

=t

OP

，所以（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x₀，y₀），
所以x₀=

1

t

（x₁+x₂）=

24k2

t(1+4k2)

，y₀=

-6k

t(1+4k2)

．
因为点P在椭圆上，所以[

24k2

t(1+4k2)

]²+[

-6k

t(1+4k2)

]²=4，
解得t²=9-

9

1+4k2

，
由于0＜k²＜

1

5

，故而0＜t²＜4，所以t∈（-2，0）∪（0，2），
综合①②可知，t∈（-2，2）．

点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．