Question

【题目】如图，已知四棱锥中，平面平面，平面平面，为上任意一点，为菱形对角线的交点。

（1）证明：平面平面；

（2）若，当四棱锥的体积被平面分成3：1两部分时，若二面角的大小为，求的值。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过在面内作交线的垂线，和面面垂直性质定理证明面ABCD，再通过面PDB,证明平面平面。（2）设三棱锥的高为，由体积比可得，故此时为的中点。可证面面。过点作于点，连接，则，故即为二面角的平面角，即。进一步求的的值。方法二是利用空量向量求得比值。

（1）过点作于点G，由于平面面，所以面

面，故；同理，过点作于，则

面，面,且

所以面ABCD。所以，又，

故面，所以面面面。

（2）若四棱锥的体积被面分成3：1两部分，则的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥的高为，则（为菱形的面积），所以，故此时为的中点，此时，并且，故面面，故面，，

过点作于点，则面，连接，则，故即为二面角的平面角，即

设，则，

在中，，故，

可解得，故

解法二：如图建立坐标系，设则，设

则

面的法向量为，设面面的法向量为，则，取，则