Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a₁=1，a_na_n+1=3ⁿ（n∈N₊），则S₂₀₁₄=（　　）

• A、2×3¹⁰⁰⁷-2
• B、2×3¹⁰⁰⁷
• C、

  32014-1

  2

• D、

  32014+1

  2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到数列{a_n}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案．

解答： 解：由a_na_n+1=3ⁿ，得an-1an=3n-1（n≥2），
∴

an+1

an-1

=3(n≥2)，
则数列{a_n}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，
又a2=

3

a1

=3．
∴S2014=

1×(1-31007)

1-3

+

3(1-31007)

1-3

=2×3¹⁰⁰⁷-2．
故选：A．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的分组求和与等比数列的前n项和，是中档题．