Question

已知函数f(x)=a•2x2-x+b的图象经过点A（1，3）和B（2，6），g（x）=2^x+m-3+b，其中m为实数．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对一切x∈[-2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把点A（1，3）和B（2，6）代入函数f（x）的解析式求得 a和b的值．
（2）由（1）可得，当-2≤x≤0时，2x2-x＞2^x+m-3 恒成立，即 x²-2x+3-2m＞0 恒成立．由于函数y=x²-2x+3-2m 在区间[-2，0]上单调递减，故当x=0时，
y=x²-2x+3-2m=3-2m＞0，由此求得m的取值范围．

解答：解：（1）把点A（1，3）和B（2，6）代入函数f（x）的解析式可得 3=a+b，6=4a+b．
解得 a=1，b=2．
（2）由（1）可得f（x）=2x2-x+2，g（x）=2^x+m-3+2，
若对一切x∈[-2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，则当-2≤x≤0时，2x2-x＞2^x+m-3 恒成立，
即 x²-x＞x+m-3 恒成立，即 x²-2x+3-2m＞0 恒成立．
由于函数y=x²-2x+3-2m 在区间[-2，0]上单调递减，故当x=0时，y=x²-2x+3-2m=3-2m＞0，解得m＜

3

2

，
即m的取值范围为 （-∞，

3

2

）．

点评：本题主要考查指数函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．