Question

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1）0，3，8，15，24，…；
（2）

1

2

，

3

4

，

7

8

，

15

16

，

31

32

，…；
（3）

2

3

，-1，

10

7

，-

17

9

，

26

11

，-

37

13

，…

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）数列可以变形为：1²-1，2²-1，3³-1，4²-1，5²-1，…，即可得出．
（2）通过公差可得：分母为2ⁿ，分子=2ⁿ-1，可得通项公式an=

2n-1

2n

；
（3）每一项的符号为（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值为：

2

3

，

5

5

，

10

7

，

17

9

，

26

11

，

37

13

，…，其分母为2n+1，分子5-2=3，10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…，其差为等差数列，即可得出．

解答： 解：（1）0，3，8，15，24，…，可得an=n2-1；
（2）

1

2

，

3

4

，

7

8

，

15

16

，

31

32

，…，可得分母为2ⁿ，分子=2ⁿ-1，于是通项公式an=

2n-1

2n

；
（3）

2

3

，-1，

10

7

，-

17

9

，

26

11

，-

37

13

，…，每一项的符号为（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值为：

2

3

，

5

5

，

10

7

，

17

9

，

26

11

，

37

13

，…，其分母为2n+1，分子5-2=3，10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…，其差为等差数列，首项为2，公差为2，设分子为数列{b_n}，利用“累加求和”可得：b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²+1，∴通项公式为an=(-1)n+1•

n2+1

2n+1

．

点评：本题考查了通项公式的求法、等差数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳能力，属于基础题．