Question

设x＞1，y＞1，S=min{log_x2，log₂y，log_y（8x²）}则S的最大值为

2

．

Answer 1

分析：由题设：“S=min{log_x2，log₂y，log_y（8x²）}”得log_x2≥S，log₂y≥S，log_y（8x²）≥S，则S≤log_y（8x²）构造关于S的不等关系，解不等式即可得出S的最大值．

解答：解：由题设得log_x2≥S，log₂y≥S，log_y（8x²）≥S，
则S≤log_y（8x²）=

3+2log2x

log2y

=

3+ 2 logx2

log2y

≤

3+ 2 S

S

，
于是S³-3S-2≤0，即（S-2）（S+1）²≤0，
得S≤2．
当x=

2

，y=4时取等号．
则S的最大值为2．
故答案为：2．

点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．