Question

已知a∈R，给出下面两个命题：命题p：“在x∈[1，2]内，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命题q：“关于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集为空集”；当p、q中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：两个命题中有且只有一个是真命题，则需要对p、q的谁真谁假分情况讨论．对于命题p可以利用分参思想转化为恒成立问题．对于命题q：不等式的解集为空集，a应满足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，即可求出命题q，然后根据当p、q中有且仅有一个为真命题时，分情况讨论，即可求得实数a的取值范围．．

解答：解：∵x∈[1，2]时，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a＞

2-x2

x

=

2

x

- x，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=

2

x

- x，
则g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命题p真，则a＞

1

2

，
当命题q真时，a应满足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，解得-

7

9

≤a≤1，
∴当p、q中有且仅有一个为真命题时，即

a＞ 1 2 a＞1或a＜- 7 9

或

a≤ 1 2 - 7 9 ≤a≤1

，
∴a∈[-

7

9

，

1

2

]∪(1，+∞)．

点评：此题是个中档题．本题考查二次不等式恒成立求参数范围、二次不等式的解法、分类讨论的数学思想方法，同时考查学生对题意的理解与转化和计算能力．