Question

6．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=$\sqrt{2}$，N为线段CD的中点．
（1）若线段AB中点为E，试问线段PC上是否存在一点M使得ME∥平面PAD．若存在M点，设CM=kCP，求k的值．若不存在说明理由．
（2）求证：BD⊥PN；
（3）求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点M，此时k=$\frac{1}{2}$，连结M、N、E三点，证明面PAD∥面EMN，可得ME∥平面PAD．
（2）连结BD，AC，取AD中点为F，证明BD⊥面PFN，即可证明BD⊥PN；
（3）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥A-PBC的体积．

解答 （1）解：取PC的中点M，此时k=$\frac{1}{2}$，连结M、N、E三点，则PD∥MN
∵∠ADC=∠BCD=90°且N、E分别为CD、AB的中点
∴AD∥BC∥NE
∵PD∩AD=D，NE∩MN=N，
∴面PAD∥面EMN
∵ME?面EMN，
∴ME∥面PAD   …（4分）
（2）证明：连结BD，AC，取AD中点为F
在Rt△BCD和Rt△ACD中，$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{CD}{AD}$，
∴Rt△BCD∽Rt△ACD，
∴∠BDC=∠CAD
∵∠BDC+∠BDA=90°，∴∠BDC+∠CAD=90°，∴BD⊥AC
∵N、F分别为AD、CD的中点，∴FN∥AC，∴FN⊥BD
∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD=AD，PF?面PAD，∴PF⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，∴PF⊥BD
∴BD⊥面PFN，
∵PN?面PFN，∴PN⊥BD                        …（8分）
（3）解：V=$\frac{1}{3}$×$\frac{（BC+AD）CD}{2}$×PF=$\frac{1}{3}$×$\frac{（1+2）\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$                 …（12分）

点评 本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．