Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值．

Answer 1

a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12

由题意可知：∵f(x)＝ax²＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7对应相等可得a＝－1，b＝7，
∴可得f(x)＝－x²＋7x.因为点P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以有S_n＝－n²＋7n.
当n＝1时，a₁＝S₁＝6；
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－2n＋8，a₁＝6适合上式，
∴a_n＝－2n＋8(n∈N^*)．
令a_n＝－2n＋8≥0得n≤4，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12.
综上，a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12.