Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，D₁为A₁B₁的中点．
（1）求证：AB⊥CD₁；
（2）若二面角A-BC-D₁的大小为60°，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）过D₁作D₁D⊥AB，连接DC，证明AB⊥平面DD₁C，然后证明AB⊥D₁C．
（2）过D作DM⊥BC，连接D₁M，说明二面角A-BC-D₁的大小为60°通过计算直接求出V=

3 3

16

a3．

解答：（1）证明：过D₁作D₁D⊥AB，连接DC，
因为几何体是正三棱柱，D₁为A₁B₁的中点，∴D为AB的中点，
CD⊥AB，AB∩CD=D，
∴AB⊥平面DD₁C
D₁C?平面平面DD₁C
∴AB⊥D₁C．
（2）解：过D作DM⊥BC，连接D₁M，
因为D₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥D₁D，
所以二面角A-BC-D₁的大小为60°，∠D₁MD=60°
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，
∴DM=

3

4

a，D1D=

3

4

a，V=

3 3

16

a3．
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：

3 3

16

a3．

点评：本题是中档题，考查直线与直线垂直的证明方法，二面角在求解几何体体积中的应用，考查空间想象能力，计算能力．