Question

求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等．

Answer 1

分析：分两条平行线与平面α的位置关系进行讨论，当两条平行线与平面斜交时，在平面的同一侧两条直线上各取一点作平面的垂线，由线面垂直的性质得到线线平行，结合已知条件由等角定理证得答案．

解答：证明：设两平行线为a，b，平面为α．
①a，b都平行于α或都在α内，或一条与α平行，另一条在α内时，a，b和α所成的角都等于0°，
∴a，b与α成等角；
②a，b都和α垂直时，a，b和α所成的角都等于90°，
∴a，b与α成等角；
③a，b和α斜交时，如图，

设a∩α=A，b∩α=B，
在a，b上分别取点C，D，使C，D在α的同侧，
作CE⊥α于E，DF⊥α于F，则CE‖DF，
连结AE，BF，则直线AE，BF分别是a，b在α内的射影，
∴∠CAE，∠DBF分别是a，b和α所成的角．
∵a‖b，CE‖DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，
∴∠ACE=∠BDF，
∴∠CAE=∠DBF，即斜线a，b和α所成的角相等．
综上所述，两条平行线和同一平面所成的角相等．

点评：本题考查了线线平行的判断，考查了线面垂直的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．