Question

3．若偶函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x-1）f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-7）∪（7，+∞）
• C． （-7，1）∪（7，+∞）
• D． （-7，1]∪（7，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．

解答 解：∵偶函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，且f（7）=0，
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（-7）=f（7）=0，
即f（x）对应的图象如图：
则不等式（x-1）f（x）＞0等价为：
$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞7或x＜-7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{-7＜x＜7}\end{array}\right.$，
即x＞7或-7＜x＜1，
故选：C

点评 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．