Question

已知函数f₁（x）=mx²的图象过点（1，1），函数y=f₂（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f₂（x）=x-a，若f（x）=f₁（x）f₂（x）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函数f₁（x）=mx²的图象过点（1，1），求得m解得f₁（x）；由函数y=f₂（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f₂（x）=x-a，得到函数f₂（x）最后由f（x）=f₁（x）f₂（x）得到f（x）．
（2）当a≤2时，f（x）=x²（x-a），f′（x）=3x²-2ax，当x∈[2，3]时f（x）是增函数f（x）_min=f（2），当2＜a≤3时f（x）_min=f（a）=0，当a＞3时f（x）=ax²-x³，f′（x）=2ax-3x²，当3＜a＜

9

2

时f（x）在[2，

2

3

a]增，在[

2

3

a，3]减，可得到
f（x）_min=f（2）=4a-8或f（x）_min=f（3）=9a-27，若4a-8＞9a-27，即a＜

19

5

时有两种情况3＜a＜

19

5

时f（x）_min=f（3），

19

5

＜a＜

9

2

时f（x）_min=f（2），当a≥

9

2

时f（x）_min=f（2）．最后写成分段函数的形式．

解答：解：（1）∵函数f₁（x）=mx²的图象过点（1，1），
∴f₁（1）=1，
∴m=1），
∴f₁（x）=x²
∵函数y=f₂（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f₂（x）=x-a，
∴f₂（x）=|x-a|，
∵f（x）=f₁（x）f₂（x）．
∴f（x）=x²|x-a|，
（2）当a≤2时，f（x）=x²（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax
当x∈[2，3]时f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数
∴f（x）_min=f（2）=8-4a
当2＜a≤3时f（x）=x²|x-a|，f（a）=0
∴f（x）_min=f（a）=0
当a＞3时f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²
当3＜a＜

9

2

时f（x）在[2，

2

3

a]增，在[

2

3

a，3]减
∴f（x）_min=f（2）=4a-8或f（x）_min=f（3）=9a-27
当4a-8＞9a-27即a＜

19

5

当3＜a＜

19

5

时f（x）_min=f（3）=9a-27
当

19

5

＜a＜

9

2

时f（x）_min=f（2）=4a-8
当a≥

9

2

时f（x）_min=f（2）=4a-8
∴f（x）min=

8-4a   a≤2 0       2＜a≤3 a-27   3＜a＜ 19 5 4a-8   a≥ 19 5

点评：本题主要考查函数解析式的求法及应用，主要考查了函数的单调性来函数的最值，还考查了分类讨论思想．