Question

某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1
所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：


请完成以下问题：
（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值
（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）

Answer 1

解：（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为=0.06．频率直方图如下：
（2分）
第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，（3分）
所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，（4分）
第四组的频率为 0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60． （5分）
（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人． （6分）
随机变量X服从超几何分布．
P（X=0）==，P（X=1）==，
P（X=2）==，P（X=3）==
所以随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

（10分）
∴数学期望 E（X）=0×+1×+2×+3×=2（12分）
分析：（1）根据所求矩形的面积和为1求出第二组的频率，然后求出高，画出频率直方图，求出第一组的人数和频率从而求出n，根据第二组的频率以及人数，求出p的值，然后求出第四组的频率和人数，从而求出a的值；
（2）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，随机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可．
点评：本题重点考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了超几何分布的概念和计算能力，属于中档题．