Question

12．已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若点Q的坐标为（-1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）求四边形QAMB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA，QB的方程；
（2）连接QM，则易知四边形QAMB的面积$S=2{S_{△QAM}}=2×\frac{1}{2}×|{QA}||{MA}|=|{QA}|=\sqrt{{{|{QC}|}^2}-1}$，即可求四边形QAMB的面积的最小值．

解答 解：（1）由题意，过点（-1，0），且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为x=-1
当过点（-1，0）的直线不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
由$\frac{{|{-2+k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$解得$k=\frac{3}{4}$，此时切线方程为3x-4y+3=0；
（2）连接QM，则易知四边形QAMB的面积S=2S_△QAM=2×$\frac{1}{2}×|QA||MA|$=|QA|=$\sqrt{|QM{|}^{2}-1}$．
故当点Q为坐标原点时，${S_{min}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆 的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．