Question

用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一个近似解x=x₀的问题．
（1）若借助计算器，算得
第一次：f（2）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈

（2，3）

；
第二次：

f（2.5）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈（2.5，3）

；
第三次：f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
第六次：f（2.53125）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.53125，2.5625）；
…
（2）若精确度为0.1，至少需算

5

次，近似解x₀=

2.5625

．

Answer 1

分析：（1）由根的存在性定理知，当f（a）•f（b）＜0，存在根x₀∈（a，b）；再取x₁=

a+b

2

，验证f（a）•f（x₁）＜0，还是f（x₁）•f（b）＜0，进一步确定根x₀所在的区间；
（2）精确度为0.1时，区间长度小于0.1，且端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可．

解答：解：（1）第一次：∵f（2）•f（3）＜0，∴x₀∈（2，3）；
第二次：取x=

2+3

2

=2.5，∵f（2.5）•f（3）＜0，∴x₀∈（2.5，3）；
第三次：取x=

2.5+3

2

=2.75，由f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：取x=

2.5+2.75

2

=2.625，由f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：取x=

2.5+2.625

2

=2.5625，由f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
（2）当区间长度为：2.5625-2.5=0.0625＜0.1时，精确度为0.1；
∴至少需算5次，此时近似解x₀=2.5625；
故答案为：（2，3），f（2.5）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈（2.5，3）；
5，2.5625．

点评：本题考查了二分法求函数在某一区间上的近似解问题，解题时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于所要求的精确度为止．