Question

定义在（-∞，0）∪（0，+8）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞上的如下函数：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为________．

Answer 1

③④
分析：根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判断四个函数，即可得到结论．
解答：由等比数列性质知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①当f（x）=2^x时，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正确；
②f（a_n）f（a_n+2）=log₂|a_n|log₂|a_n+2|≠log₂|a_n+1|²=f²（a_n+1），故②不正确；
③当f（x）=x²时，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故③正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=a_nln2•a_n+2ln2=a_n+1²ln²2=f²（a_n+1），故④正确；
故答案为：③④．
点评：本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用，正确运算，理解新定义是解题的关键．