Question

（2013•临沂一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn+an+(

1

2

)n-1=2(n∈N*)，设cn=2nan．
（I）求证：数列{c_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）按以下规律构造数列{b_n}，具体方法如下：b₁=c₁，b₂=c₂+c₃，b₃=c₄+c₅+c₆+c₇，…第n项b_n由相应的{c_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n}的通项b_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+a_n+(

1

2

)n-1=2知，当n=1时可求得a₁，当n≥2时，可求得2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，由c_n=2ⁿa_n，可得数列{c_n}是等差数列，从而可求得其通项公式；
（II）依题意，b_n=c2n-1+c2n-1+1+c2n-1+2+…+c2n-1=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1），利用等差数列的求和公式即可求得答案．

解答：解：（I）在S_n+a_n+(

1

2

)n-1=2①中，令n=1，
得：S₁+a₁+1=2，
∴a₁=

1

2

．
当n≥2时，S_n-1+a_n-1+(

1

2

)n-2=2，②
①-②得：2a_n-a_n-1-(

1

2

)n-1=0，（n≥2），…2
∴2a_n-a_n-1=(

1

2

)n-1，
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1…3分
又c_n=2ⁿa_n，
∴c_n-c_n-1=1（n≥2），又c₁=2a₁=1，
∴数列{c_n}是等差数列，…4分
∴c_n=1+（n-1）×1=n，又c_n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

…6分
（II）由题意得
b_n=c2n-1+c2n-1+1+c2n-1+2+…+c2n-1…7分
=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）…8分
而2^n-1，2^n-1+1，2^n-1+2，…，2ⁿ-1是首项为2^n-1，公差为1的等差数列，
设数列共有2^n-1项，…9分，
所以，b_n=

[2n-1+(2n-1)]×2n-1

2

=

22n-2+22n-1-2n-1

2

=3×2^2n-3-2^n-2…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式，（II）中b_n=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）的确定是难点，考查观察与推理分析的能力，属于难题．