Question

（2013•青岛一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，离心率为

2

2

，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足

OG

+

OH

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的简单性质求得它的标准方程，设A（x₀，y₀），由

AB

•

BF

=-6，求得A的坐标，由此求得三角形外接圆的半径，即可求得外接圆的方程．
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在，把GH的方程代入椭圆，由判别式大于零求得k2＜

1

2

（*）．再由 |

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，求得k2＞

1

4

，结合（*）得

1

4

＜k2＜

1

2

．根据

OG

+

OH

=t

OP

，即（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），结合点P在椭圆上可得16k²=t²（1+2k²），从而求得实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，∴椭圆C的方程为：

x2

6

+

y2

3

=1．…（2分）
可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)，设A（x₀，y₀），则

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

．
由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

⇒

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

，
即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)…（4分）
①当A的坐标为(0，-

3

)时，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，

3

为半径的圆，即x²+y²=3．…（5分）
②当A的坐标为(

4 3

3

，

3

3

)时，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，
圆心坐标为(

2 3

3

，

2 3

3

)，半径为

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圆的方程为(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
综上可知：△ABF外接圆方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，椭圆N：即

x2

6

+

y2

3

=

1

3

，即

x2

2

+y2 =1．
由题意可知直线GH的斜率存在，设GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

（*）． …（9分）
由于 x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，∵|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，
∴|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，再结合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．…（11分）
∵

OG

+

OH

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
从而x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

．
∵点P在椭圆上，∴[

8k2

t(1+2k2)

]2+2[

-4k

t(1+2k2)

]2=2，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即t2=8-

8

1+2k2

，∴-2＜t＜-

2 6

3

，或

2 6

3

＜t＜2，
即实数t的取值范围为 （-2，-

2 6

3

∪（

2 6

3

，2）．…（13分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，求圆的标准方程得方法，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的运算，属于中档题．