Question

关于x的方程e^x-1-|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k的取值范围是（　　）

• A、{-2，0，2}
• B、（1，+∞）
• C、{k|k²＞1}
• D、{k|k＞e}

Answer 1

分析：将方程e^x-1-|kx|=0转化为e^x-1=|kx|，利用函数图象的交点问题，结合导数和函数极值之间的关系即可得到结论．

解答：解：由e^x-1-|kx|=0得e^x-1=|kx|，
当k＜0时，e^x-1=kx恒有1个根，
当k＞0时，要使方程e^x-1-|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，
则在x＞0时，e^x-1=|kx|有两个不同的实根，
由e^x-1=|kx|得|k|=

ex-1

x

，
设f（x）=

ex-1

x

，则f′（x）=

xex-1-ex-1

x2

=

(x-1)ex-1

x2

，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=1，
∴要使在x＞0时，e^x-1=kx由两个不同的实根，
则|k|＞1，等价为k²＞1，
故选：C．

点评：本题主要考查函数交点个数的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键，注意利用数形结合．