Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）和f（x-1）都是奇函数．对x∈R有以下结论：
①f（x+2）=f（x）；
②f（x+3）=f（x）；
③f（x+4）=f（x）；
④f（x+2）是奇函数；
⑤f（x+3）是奇函数．
其中一定成立的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用f（x+1）是奇函数与f（x-1）是奇函数，可证明函数是周期函数；结合周期函数的性质来判断①②③是否正确；
根据函数是否满足f（x+a）=-f（-x+a），来判断④⑤的正确性．

解答：解：∵f（x+1）和f（x-1）都是奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1）；f（-x-1）=-f（x-1）．
f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x）=-f[-（x-1）-1]=f[（x-1）-1]=f（x-2）；
∴f（x+2）=f（x）∴①不成立；
∵f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）；∴②不成立；
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]=f（x），函数是以4为周期的周期函数，③成立；
∵f（x+2）=-f（-x），∴④不成立；
∴f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=-f（-x+3）．∴f（x+3）是奇函数．⑤成立．
故选B

点评：本题借助考查命题的真假判定 考查抽象函数的性质及应用．正确理解f（x+1）和f（x-1）都是奇函数是关键．