Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

• B．

  5

• C．

  10

• D．

  13

Answer 1

分析：根据题意双曲线右顶点为A（a，0），所以直线y=-x+a与y=±

b

a

x交于B、C两点，求出B、C的横坐标再根据 A、B、C三点的横坐标成等比数列，建立关于a、b的等式解出b=3a，算出c=

10

a可得此双曲线的离心率．

解答：解：经过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线，直线方程为y=-x+a
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线为y=±

b

a

x
∴直线y=-x+a与渐近线的交点横坐标分别为x_B=

a 2

a-b

，x_C=

a 2

a+b

∵A，B，C三点的横坐标成等比数列，
∴（

a 2

a-b

）²=a•

a 2

a+b

，化简整理，解得b=3a
∵c=

a2+b2

=

10

a，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

10

故选：C

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的交点坐标、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．