Question

已知f（x）=a^x-a^-x（a＞1）
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并加以证明
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）为奇函数．然后运用定义，注意验证定义域是否关于原点对称，
再计算f（-x）是否等于±f（x）；
（2）先判断函数的单调性．再运用定义，注意几个步骤，即可得证．

解答： 解：（1）函数f（x）为奇函数．
理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：设m＜n，
则f（m）-f（n）=（a^m-a^-m）-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）
=（a^m-aⁿ）+

am-an

am+n

=（a^m-aⁿ）（1+

1

am+n

），
由于a＞1，m＜n，则a^m＜aⁿ，a^m+n＞0，
则有（a^m-aⁿ）（1+

1

am+n

）＜0，
即有f（m）＜f（n），
故函数f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．