Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2 ， 解得﹣ ≤x≤1，
故不等式的解集为[﹣ ，1]．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|﹣2|x|≥a．
设h（x）=|x+1|﹣2|x|= ．
故当x≥0时，h（x）≤1． 当﹣1≤x＜0时，﹣2≤h（x）＜1． 当x＜﹣1时，h（x）＜﹣2．
综上可得h（x）的最大值为1．
由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
【解析】（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2 ， 由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|x+1|﹣2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值为1，可得1≥a，由此求得实数a的取值范围．